# 水面的一次扰动如何传播？

看见流速、波速与弗劳德数的区别。

专题：河流水动力。教学合成算例，待独立专业审稿。

## 漂浮物和消息，不一定同速

把一片叶子放在水里，它随水流漂走。再轻轻扰动水面，扰动传递的速度却不一定等于叶子的速度。区分水体运动和信息传播，是理解河流上下游影响的关键。

水平矩形河道均匀背景，正方向向下游，U≥0。对微小长波，相对水体的波速c=√(gh)，相对岸边的特征速度为U−c和U+c；g=9.81m/s²。

## 先让背景水流停下来

当水体静止，一次微小扰动可以向两边传播，两边速度大小相同、方向相反。水越深，浅水长波的传播速度越大。这里的浅水指水深相对波长很小，不是水一定很浅。

U=0时两条特征为±c。浅水近似需水平波长远大于水深，且压力近似静水。毛细波、短风浪和显著垂向加速度不属于本式的适用范围。

## 把流速加回去

现在让河水向下游流。向下游的消息顺流加速，另一支消息则要与背景水流竞争。如果水流还不够快，这一支仍能向上游走；如果水流更快，两支就都被带向下游。

页面画从x=0发出的两条特征轨迹x=(U±c)t，同时画水粒子轨迹x=Ut。横轴t为0—20秒，纵轴为相对起点的位置m；这不是水面高度图。

## 弗劳德数，把竞争写成一个比值

用流速除以相对水体的波速，就得到弗劳德数。小于一时，两种传播方向都可能存在；大于一时，岸边看见的两支微扰都朝下游走。等于一是其中一支刚好停住的临界情形。

矩形断面Fr=U/√(gh)。一般断面浅水近似可用水力深度A/T代替h，T为水面宽。Fr是无量纲数；不能把断面水力半径R直接替代水力深度。

## 看箭头，不要只背名词

把背景流速从两米每秒调到八米每秒，保持水深两米。观察原本向上游的轨迹是否反向。用方向变化理解缓流和急流，会比只记住数字更牢固。

h=2m时c≈4.429m/s。U=2时λ−≈−2.429、λ+≈6.429m/s，Fr≈0.452；U=8时两特征均正，Fr≈1.806。临界值应按U=c判断，而不是四舍五入后的显示值。

## 微小消息，不等于溃坝前锋

特征速度告诉我们局部微小扰动怎么走，但大洪水的波形可能陡化，甚至形成激波。溃坝湿润前锋也有自己的运动规律。接下来我们会把干湿边界和理想溃坝单独拿出来讲。

本页未模拟有限幅值洪水波、不连续水跃或干床前锋。Fr可帮助选择边界信息方向，但完整边界设置仍取决于方程、流态和工程控制。

## 练习与解释

1. 静水中的微小长波速度是？

答案：±√(gh)。静水仍能传播重力波。

2. U>√(gh)时，两支特征相对岸边怎样？

答案：都向下游。U−c和U+c都为正。

3. 图中纵轴是什么？

答案：相对起点的位置。画的是位置—时间特征轨迹。

## 算例与依据

下载页面上的完整Python算例包，解压后运行 reproduce.py，无需第三方库。模型源为 hydraulics_models.py，输出 reference.csv。

[参考资料](https://faculty.washington.edu/rjl/riemann_book/Shallow_water.html)，查阅日期2026-09-15。公式、参数和实现简化见正文；来源用于机理核对，不代表本算例经过来源机构认可。