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id: E01
title: 水去哪了？从一座透明水库理解水量守恒
status: 图文初稿
model_ids: [M01]
prerequisites: [体积与流量的单位]
data_kind: 教学合成数据
updated: 2026-09-14
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# 水去哪了？从一座透明水库理解水量守恒

想象一座透明的水库。左边有水流进来，右边有水流出去，中央的蓝色区域代表库里存着的水。

现在，入流每秒100立方米，出流每秒60立方米。先别计算，猜一猜：库里的水会增加、减少，还是不变？

你很可能已经知道答案：增加。水利模型的第一步，就是把这个判断变成可以计算的关系。

## 看见一秒钟

暂停画面，把时间切成一秒。左边箭头送进100立方米水，右边箭头带走60立方米。剩下的40立方米必须留在库内。

把时间再向前推一秒，又多40立方米。只要这两个流量保持不变，一分钟就会增加2400立方米。

这里先做一个简化：只考虑入库和出库，忽略水面降雨、蒸发、渗漏和其他取用水。画面中的水库也没有在这一分钟内溢出。真实项目必须根据建模边界把相应水量项补回来。

## 一句话长成一个方程

记库内储量为S，入流为I，出流为Q。在一个时段内：

**储量变化 = 进入的水量 − 离开的水量。**

若I和Q表示该时段的平均流量：

`S下一时刻 = S当前 + (I − Q) × Δt`

S单位为m³，I和Q单位为m³/s，Δt单位为s。流量乘时间才是水量。不要把“每秒多少水”和“总共有多少水”画成同一个量。

如果采用时段起点的瞬时流量代替平均流量，上式通常是一种数值近似；如果流量在时段内恒定，则可以精确计算这段时间的储量变化。

进一步缩短时段，得到瞬时关系：

`dS/dt = I(t) − Q(t)`

左侧表示储量变化有多快。右侧是此时进来与出去的差。微分符号没有增加新的物理规则，只是把我们刚才“一秒钟”的观察变得连续。

## 把水量画成曲线下面的面积

现在换一个视角：横轴是时间，纵轴是流量。把I和Q画在同一张图上。

某段时间内，入流曲线下的面积代表总入水量，出流曲线下的面积代表总出水量。二者之差就是储量变化：

`S(t) − S(0) = ∫₀ᵗ [I(τ) − Q(τ)] dτ`

当入流线在出流线上方，给两条线之间涂上蓝色，库内储量增加；顺序反过来，储量减少。这也是以后理解水库削峰的起点：洪峰期间暂存的水，会在后续过程释放或继续存留。

注意：横轴若使用分钟、纵轴仍是m³/s，计算面积时需要乘60。动画中的面积也必须服从这个单位转换。

## 一个可以亲手复算的例子

初始储量1000m³。以下均为教学设定，流量在各60秒时段内保持恒定。

| 时段 | 入流I（m³/s） | 出流Q（m³/s） | 储量变化（m³） | 时段末储量（m³） |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0—60s | 100 | 60 | +2400 | 3400 |
| 60—120s | 40 | 60 | −1200 | 2200 |
| 120—180s | 0 | 20 | −1200 | 1000 |

三分钟内总入水8400m³，总出水8400m³，最终储量回到初值。这不是巧合，而是同一本水量账的两种写法。

配套[复算程序](case/reproduce.py)会输出逐段结果并检查整体水量平衡。其用途是验证这组教学计算，不是预测真实水库运行。

## 水位一定也按相同速度升降吗？

不一定。我们算的是储量，水位还取决于水库的形状。同样增加1000立方米水，在窄深容器里会升得更多，在宽浅容器里会升得更少。

若假设水面面积A固定，可以写成 `Δh=ΔS/A`；一般水库则需要库容—水位关系 `S=f(h)`。因此本期动画主要显示储量数值，透明蓄水体的形状只用作概念示意。

## 为什么还需要下一期？

我们给了出流，才算出储量。如果只知道来水，出流该是多少？水量守恒自己不能回答这个问题。

还需要一个描述“储量怎样影响出流”的关系。下一期先尝试最简单的假设 `S=KQ`：储量越多，出流越大，二者成正比。这就是线性水库。它能帮助我们理解缓冲与拖尾，但并不是所有真实水库都满足这个关系。

## 两个自测

1. 入流和出流都翻倍、且始终相等，储量会增加吗？
2. 初始储量1000m³，入流10m³/s、出流30m³/s都恒定，能持续出流一分钟吗？

答案：第一题不会，因为差值仍为零。第二题不能：50秒后水已耗尽。如果把公式机械推进到60秒，会得到−200m³，这说明设定的出流无法维持，需要处理空库边界或改变出流规则。负储量是发现模型问题的线索。

## 依据与后续关联

本期使用固定控制体的体积收支关系，所有算例由该关系直接计算。[M01模型档案](../../02-model-cards/M01-linear-reservoir.md)列出下一期线性水库的闭合关系与参考来源；[HEC官方资料](https://www.hec.usace.army.mil/)提供相关水文与水库模型入口。文中数字均为原创教学设定，不代表工程实测。当前为教学初稿，尚未完成独立专业审稿。